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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
En additionnant les seconds membres des égalités (4) et (5) et
en remplaçant dans (3) la seconde intégrale par cette somme,
nous obtenons une égalité contenant des intégrales étendues à
la surface
et des intégrales étendues au volume
En
représentant la somme des intégrales doubles par
l’équation (3) devient
![{\displaystyle \mathrm {I} -\int \left({\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}+\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\right)\,\delta \xi \,d\tau =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f981369e701d8f4152b2a95ccdc6187faf9f0b73)
et, comme elle doit être satisfaite, quel que soit
l’élément
différentiel placé sous le signe d’intégration étendu au volume
doit être nul. Nous aurons donc
![{\displaystyle \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} }{d\xi ''}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d56ee5ef64b3bdf36c314ccdd3476f99555e87)
Cette équation devient, en désignant par
le terme du
premier degré et par
le terme du second degré dans le
développement de
par rapport aux puissances croissantes
de
![{\displaystyle \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{1}}{d\xi ''}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521c0477582cb7121c1c7e3ea1ab411e5760651f)
Mais
étant du premier degré (14) par
rapport aux dérivées partielles de
il en sera de même de
les dérivées de cette fonction par rapport à
et
seront des
constantes et l’équation précédente se réduit à
![{\displaystyle \rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0335c61eed7c09f8a896448c75bc4a222d6105)
C’est la première des équations du mouvement d’une molécule :
les deux autres s’obtiendraient de la même manière.