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CHAPITRE XXIV.
L’équation des forces vives peut donc s’écrire
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b16fddbba3b4b00870c1bb871718b030510d4e)
Reprenons, d’autre part, les équations (9) du no 267 et ajoutons-les,
après les avoir respectivement multipliées par
; il
viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(2x_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}+y_{i}{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4ab14cbc9140dfba76de10ff14fc2c808ac830)
Si l’on observe que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,n_{k}\,{\frac {dx}{dw_{k}}}={\frac {dx}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8561ff7aa7cf150d0fba64d419e0b4aa4242b141)
(puisque
), on conclura que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}{\frac {dy_{i}}{dt}}+y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)=3{\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae23b6a09476b7f3cbb3a7907b12b881313aff7)
En comparant avec l’équation des forces vives, on trouve
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}\,{\frac {d\mathrm {C} }{dn_{k}}}={\frac {2}{3}}\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b791e3d49d887cc6e8a42206633af017dd839f3)
ce qui montre que
doit être homogène de degré
par rapport
aux
ce qui pourrait se voir d’ailleurs directement. Maintenant,
la valeur moyenne d’une fonction
que je représenterai
par la notation
sera nulle si
est la dérivée d’une fonction
périodique ; on aura donc
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left[y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3d1860c322a394763d4fa06646eda7c13e3202)
et, en rapprochant de l’équation des forces vives, on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}{\textstyle \sum }\,y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right]&=-\mathrm {C} ,\\\left[{\textstyle \sum }\,x_{i}\,{\frac {dy_{i}}{dt}}\right]&=2\mathrm {C} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c7600d429e849b9f1283b645aa811d41c61c7e)
d’où
![{\displaystyle {\frac {\left[\sum {\dfrac {y_{i}^{2}}{2m_{i}}}\right]}{\left[-\mathrm {V} \right]}}=-{\frac {1}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c93e43d07edd7f332b3dcadcebe67222acf61af)
C’est le théorème de Jacobi.
(Ce théorème s’appelle généralement le théorème du Viriel ; Henri Poincaré le désigne d’ailleurs ainsi dans ses Leçons sur les hypothèses cosmogoniques.)