66
CHAPITRE XXIII.
La même homogénéité subsiste si l’on prend pour variables,
comme au no 12,
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\mathrm {H} ,&\mathrm {Z} ,&\Lambda ',&\mathrm {H} ',&\mathrm {Z} ',\\\lambda ,&h,&\zeta ,&\lambda ',&h',&\zeta ',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4577cacbbd00a715b50f275c3c60abc4a98e7944)
Donc
![{\displaystyle \int \left(\Lambda \,d\lambda +\mathrm {H} \,dh+\mathrm {Z} \,d\zeta +\Lambda '\,d\lambda '+\mathrm {H} '\,dh'+\mathrm {Z} '\,d\zeta '\right)+3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cb534d8efdc31c31cb5ce052512e25248432e)
sera un invariant.
Si l’on prend comme variables (voir no 12)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q',\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3510a171a56314d53df7c6b45e2c6d799a8074ee)
la fonction
sera homogène de degré −2 par rapport aux
aux
aux
aux
et aux ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
Il en résulte que
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\left(2\Lambda \,d\lambda +\xi \,d\eta -\eta \,d\xi +p\,dq-q\,dp\right)+6t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdd063fdd555828bbdbca35b024ce8dad07f69b)
est un invariant.
Le signe
signifie qu’on doit ajouter à chaque terme celui qu’on
en déduit en accentuant les lettres. Ainsi
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\xi \,d\eta =\xi \,d\eta +\xi '\,d\eta '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52f5c02dfed1b172dca4f72cd531e517273b9ac)
Si enfin, nous prenons les variables des nos 131 et 137
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ';&\tau _{i},\\\lambda ,&\lambda ';&\sigma _{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c2bec2272ae3aedc01f61236d124b6e4fbac50)
nous verrons de même que
![{\displaystyle \int \left[2\Lambda \,d\lambda +2\Lambda '\,d\lambda '+{\textstyle \sum }\,\left(\tau _{i}\,d\sigma _{i}-\sigma _{i}\,d\tau _{i}\right)\right]+6t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3118faf2d5bc2cd9c9b10695f1cb0f5cac347547)
sera un invariant de la quatrième sorte.
Remarque sur l’invariant du no 256.
264.Au no 256, nous avons envisagé le cas où les
désignent
les coordonnées de
points de l’espace et où les équations de la