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CHAPITRE XXIII.
Comment cela pourra-t-il se faire ?
Soient
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}=\mathrm {B} _{1i}\xi _{1}+\mathrm {B} _{2i}\xi _{2}+\ldots +\mathrm {B} _{ni}\xi _{n}=\mathrm {const.} \quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302402134b299256c7184343c63588e5e0f21865)
ces
intégrales linéaires, où les
seront des fonctions algébriques
des
et qui correspondront à
invariants intégraux
de la forme (3).
Elles sont distinctes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas entre elles de
relations identiques de la forme
(6)
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où les coefficients
sont des constantes et qu’il n’y en a pas non
plus de la forme
(6 bis)
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les
étant des intégrales des équations (1).
Est-il possible alors qu’il y ait entre elles une relation de la
forme
(6 ter)
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les
étant fonctions quelconques des
seulement. D’après le
no 250, si une pareille relation avait lieu, les rapports des
fonctions
devraient être des intégrales des équations (1).
Nous aurions donc
![{\displaystyle {\frac {\varphi _{1}}{\psi _{1}}}={\frac {\varphi _{2}}{\psi _{2}}}=\ldots ={\frac {\varphi _{q}}{\psi _{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2157b6f40ea558780613bfd14bb38f63fd7370)
les
étant des intégrales et par conséquent
![{\displaystyle \psi _{1}\mathrm {H} _{1}+\psi _{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots +\psi _{q}\mathrm {H} _{q}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1b68680aa40b8321727698881190cb803a8dfc)
ce qui est contraire à l’hypothèse.
Il ne peut donc pas y avoir entre les
de relation identique
de la forme (6 ter).
Mais si l’on donnait aux
les valeurs qui correspondent à une
solution particulière périodique ou non, il pourrait arriver que
le premier membre de (6) s’annulât identiquement. Il arriverait
alors que l’équation (6), qui n’est pas satisfaite identiquement