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INVARIANTS INTÉGRAUX.
On peut démontrer le même résultat d’une autre manière.
Faisons le changement de variables du no 237. Nos deux invariants
intégraux deviendront
![{\displaystyle \int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3312606ba12ed2f44a58704916d4ae38a592d75)
et
![{\displaystyle \int \mathrm {M'J} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3048c7b766cf979ce02619f9d0413dcf801e5eff)
désignant le jacobien ou déterminant fonctionnel des variables
anciennes
par rapport aux variables nouvelles
![{\displaystyle y_{n-1},\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35aaf98eb3e9d845a184d2ec54a183174267064e)
D’après le no 237,
et
ne doivent dépendre que de
![{\displaystyle y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6417dcf6a67f078b2bcc0c919d25908630b783)
{{SA|il en est donc de même du rapport
et comme toute fonction
des
est une intégrale des équations (1), ce rapport est une intégrale
des équations (1).
C. Q. F. D.
250.On peut varier ce procédé de plusieurs manières.
Soient, par exemple,
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots \quad \int \mathrm {F} _{p}(dx_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a0690a12adbbdce10766aa484bc2c11acd55ac)
invariants linéaires du premier ordre. Supposons que l’on ait
identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {F} _{2}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {F} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e146b11fc9ec06ca20b67b633e0d5416b7e3cd)
les
dépendant seulement des
et non des différentielles ![{\displaystyle dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193b60190b80267ed42a2813eecd024414c10c92)
Je dis que les
si
seront des intégrales des équations (1).
En effet, soit
le coefficient de
dans
; on devra avoir
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1.k}=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494307020b71be15cbd68535a58ac77bacf090b1)
Faisons le changement de variables du no 237 ; nos invariants
deviendront
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}'(dx_{i}'),\quad \int \mathrm {F} _{2}'(dx_{i}'),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{p}'(dx_{i}').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f91862ee0761a5fbac467f2b74fb3f2c7d1204)