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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
nos surfaces asymptotiques
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\xi _{1}-1)\eta _{1}+(\xi _{2}-1)\eta _{2}&=r{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}+(1-\mu )r{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}},\\[0.75ex](\xi _{1}-1)\eta _{2}-(\xi _{2}-1)\eta _{1}&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}-(1-\mu )r{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aa8636131f6889fe209546aa3d71fdcf2e1222)
Nous avons déjà trouvé
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}&={\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}&=\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff03ca32bec2954c98e6cbbc4b3841f0e7b8014)
Il reste à déterminer
pour cela nous avons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dr}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\omega }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed03e7911a5d63d3d04277e20c17eb2cfa5ea10)
Dans le second membre
et
doivent être remplacés par
et par
Ce second membre
est donc une fonction connue de
et de
L’équation devient
![{\displaystyle r^{2}{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dr}}\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=r^{2}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255087424bdef2600f6455082beef19546148bcd)
Posons
![{\displaystyle v=\int {\frac {dr}{r^{2}{\sqrt {\alpha ^{2}-(r-1)^{2}}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2517713b0a1bcb9d9709c5b9ba915e387e5fe681)
On voit que
et
sont des fonctions périodiques
de
et nous pouvons regarder
comme fonction de
et
Notre équation devient alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dv}}\pm {\sqrt {2\varepsilon \psi }}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\omega }}=r^{2}(\mathrm {F} _{1}-\mathrm {F} _{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49727999c243a48bb4f33356ff9e78cc63cea3a9)
Le second membre est une fonction connue de
et de
périodique
par rapport à
Cette équation est ainsi tout à fait de même forme que l’équation (2) du no 403,
jouant le rôle de
et
celui de
Elle se traitera de la même manière ; on déterminera par les
procédés du no 403 les quatre fonctions
correspondant aux quatre surfaces asymptotiques.
On reconnaîtra comme au no 403 que ces surfaces asympto-