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CHAPITRE XXXIII.
courbes ont deux ou plusieurs points doubles. C’est alors en effet
que nous rencontrerons les solutions hétéroclines.
Cherchons comme au no 225 à former la fonction
de Jacobi
et posons
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}+\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626efd96c864c5bd89507e0536a28b80a921aa1e)
La fonction
se forme immédiatement ; nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=p,&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&=q,&\mathrm {S} _{0}&=px+\int q\,dy,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d53d7e580038750dbba0adf2f096d4823b1bb9)
étant une fonction de
définie par l’équation (1) et dépendant
des deux paramètres
et ![{\displaystyle h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d298611ab61576b6db29d9b50b6af8f12910fc)
On trouve ensuite
(2)
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Dans
et
on regarde
comme une constante et l’on
remplace
par sa valeur tirée de l’équation (1). L’équation (2)
est donc une équation linéaire par rapport aux dérivées de
dont les coefficients sont des fonctions données de
et de
dépendant en outre des paramètres
et
Comme
est périodique en
je poserai
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\,\Phi _{m}e^{imx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0942f5785911e1f8128d1f71675adb9a901f8ff2)
où
de même que les dérivées de
ne dépendent que de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Je pose de même
![{\displaystyle \sigma _{1}={\textstyle \sum }\,y_{m}e^{imx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df224c6f5be91016e8307cab2119bf7b8e38cb4)
et la fonction
sera donnée par l’équation
(3)
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dont les coefficients sont des fonctions données de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Cette équation peut évidemment s’intégrer par quadratures.
Cherchons à déterminer de cette manière nos surfaces asymptotiques.
Nous devrons d’abord choisir les constantes
et
de telle
sorte que la courbe (1) ait un point double ; je supposerai de plus
que ces constantes soient telles qu’à chaque valeur de
correspondent
deux valeurs réelles de
(c’est ce qui arrive dans
l’exemple du no 225).