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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
prenne
assez grand pour que la valeur correspondante de
soit
plus grande que
La valeur qu’il faut attribuer à
dépend évidemment de
et
elle croît indéfiniment quand
tend vers zéro.
Voici en général les valeurs de
pour lesquelles nos équations
peuvent servir de première approximation :
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathrm {N} _{1}\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{2}\,;&y_{1}>y>y_{0}\,;&\mathrm {N} _{1}'\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{2}'\,;&y_{0}>y>y_{1}-2\pi .\\\mathrm {N} _{3}\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{4}\,;&y_{0}+2\pi >y>y_{1}\,;&\mathrm {N} _{3}'\;\mathrm {et} \;\mathrm {N} _{4}'\,;&y_{1}>y>y_{0}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373b159a9ca21a0e9669f2629c9e7c9a96581fea)
Si les surfaces
et
par exemple se coupent, l’intersection
correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline
qui pour
sera très voisine de la solution périodique (5)
et pour
très voisine de la solution
périodique (6).
Pour rechercher cette intersection, rapprochons les équations
de
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.1}}{dx}},&p&=p_{0}+\varepsilon {\frac {d\mathrm {S} _{1.4}}{dx}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3408ac19b3df890042fd9f25aa48779aa99d7eb9)
l’intersection nous sera évidemment donnée par
(9)
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est une fonction de
et de
développable suivant
les puissances entières positives et négatives de
![{\displaystyle \theta ^{i}e^{ix}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a248edf18a0812bd43ba2aa8ce05c89a86f8669)
Ce qui nous importe c’est que c’est une fonction périodique
de
elle admet donc au moins un maximum et un minimum ;
l’équation (9) admet donc au moins deux solutions, ce qui revient
à dire qu’il y a au moins deux solutions hétéroclines.
On démontrerait de même qu’il y a deux solutions correspondant
aux intersections des surfaces
et
deux correspondant
aux surfaces
et
et deux aux surfaces
et
L’analyse précédente ne donne pas les solutions homoclines.
404. Prenons par exemple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}&=-p-q^{2}+2\mu \sin ^{2}{\frac {y-y_{0}}{2}}\sin ^{2}{\frac {y-y_{1}}{2}},\\\mathrm {F} _{1}&=\mu \cos x\sin(y-y_{0})\sin(y-y_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8530c371dcdfd946b9f2acc35697c114c9a33a)