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CHAPITRE XXXIII.
On trouve ensuite
![{\displaystyle \psi _{m}=\theta ^{im}\int {\frac {\theta ^{-im}\Phi _{m}\,dy}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}+\mathrm {C} _{m}\theta ^{im}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b95883cb06aa89f81a4e026d281cc4ffd5549c)
étant une constante d’intégration, d’où
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\sum \theta ^{im}e^{imx}\int {\frac {\theta ^{-im}\Phi _{m}\,dy}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}+\sum \mathrm {C} _{m}\theta ^{im}e^{imx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20373db5903e9cf4ecb6a6c0f971343099640027)
Pour trouver les équations des surfaces asymptotiques, nous
écrirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {d\mathrm {S} }{dx}}\,;&q&={\frac {d\mathrm {S} }{dy}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83cf994d18ed852eeef901f12f25915a051ec98)
en attribuant aux constantes d’intégration des valeurs convenables.
Négligeons d’abord
; nous prendrons donc
et nous
donnerons aux constantes
et
les valeurs qui correspondent
à la courbe qui a deux points doubles.
Avec cette approximation, les équations différentielles admettent
comme solutions périodiques
(5)
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(6)
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où
sont les coordonnées des deux points doubles.
Nous pouvons, pour représenter nos surfaces asymptotiques,
prendre le point de l’espace à quatre dimensions dont les coordonnées
sont
![{\displaystyle (p+a)\cos x,\quad (p+a)\sin x,\quad (q+b)\cos y,\quad (q+b)\sin y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b13f79aae659e148177a8f544096603ee7c933b)
et
étant deux constantes positives assez grandes pour que l’on
n’ait à envisager que des valeurs positives de
et ![{\displaystyle q+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4485457cb555d9734d0159708a31c906582820a5)
Les équations (5) et (6) représentent alors deux courbes
fermées de cet espace à quatre dimensions, correspondant aux
deux solutions périodiques.
Par chacune de ces courbes passent deux surfaces asymptotiques,
une de la première, l’autre de la seconde famille.
Mais au degré d’approximation adopté, c’est-à-dire en négli-