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INVARIANTS INTÉGRAUX.
et
étant des intégrales de l’équation (1). On aura alors
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=\mathrm {U} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d0f84fd55cf46111f493e7679c841afbd11814)
Or on a, si l’on revient aux anciennes variables ![{\displaystyle x_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5a9bebf6a6fd218e4cf7f5e63dac56d42bcba0)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dt}}={\frac {d\mathrm {U} }{dx_{1}}}\,\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{2}}}\,\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{n}}}\,\mathrm {X} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e9afe3abf6e8fc47bffe52e122a04e8d0a6ef5)
Il résulte de là que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} }{dx_{1}}}\,\mathrm {X} _{1}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{2}}}\,\mathrm {X} _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{n}}}\,\mathrm {X} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b9e46c731b5cc98e9efe55ecda88baed7cf87)
est une intégrale des équations (1). Si cette expression est nulle, on a
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}=0,\qquad \mathrm {U} =\mathrm {U} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022447dffc7c7a9bf3dcb1844300979ba7a1da83)
et
est une intégrale des équations (1).
252.On pourrait multiplier les exemples de ce genre ; je n’en
citerai plus qu’un seul.
Considérons un invariant du premier ordre de la forme
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}}=\int {\sqrt {\Phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8657bc1391ab90490585d0f99d286d063526bab3)
Soit
le discriminant de la forme quadratique
Faisons le changement de variables du no 237, notre invariant
deviendra
![{\displaystyle \int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}=\int {\sqrt {\Phi '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c13bc1ac8e91692142d3f9931ecb3a028d2874)
Soit
le discriminant de la forme quadratique
Soit
le jacobien ou déterminant fonctionnel des
par rapport
aux
on aura
![{\displaystyle \Delta '=\Delta \mathrm {J} ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5369d9cadaba70231dba3db240b57cd60f1e53f)
D’ailleurs
sera manifestement (comme les
et les
), une
intégrale des équations (1).
Soit, maintenant, un invariant du
ième ordre
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592978600f75a786c913d1dab28d068eceda6b65)