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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
Nous avons formé ensuite la fonction
de Jacobi et nous
l’avons développée suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon +\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a244d653c699c256cbef6adfd1ffe51d1d5f4578)
Arrêtons-nous au second terme en négligeant
et écrivons
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mathrm {S} _{1}\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cee4ab941659ac7a60ab02d6abda61545cf556)
Nous avons trouvé ensuite
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238d4e5fe25f8e2fed2780fccef25df8ced44941)
ou, en attribuant aux constantes
et
la valeur zéro
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\pm 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d44f5305c39c3c17dabea01093f38e4880fffaa)
puis nous avons trouvé
![{\displaystyle \mathrm {S} _{1}=\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \;\psi e^{ix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73518a2863e658e329a4543de5be1b607c43bf1)
où
est une fonction de
définie par l’équation
![{\displaystyle i\psi +2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=\mu \varphi (y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf3da90092908d5124fea77d8ac0e12c41aa8f2)
Nous avons posé
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {y}{4}}=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d4464619b01a4b276ceed3980515480a8abba9)
et supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&=0,&\varphi (y)&=\sin y,&\alpha &={\frac {1}{2{\sqrt {2\mu }}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1962ff8068e2d122cc31c6ff8e732e6b7ee60f6)
nous avons trouvé (p. 464 et 465, t. II) deux valeurs de
correspondant
aux deux courbes asymptotiques des deux familles. L’une
de ces valeurs est
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}+it^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16842ec59aa09978c2adde54aa090aad288c7fe5)
et l’autre
![{\displaystyle \psi '={\sqrt {2\mu }}\,{\frac {t}{1+t^{2}}}-it^{-2\alpha }\int _{0}^{t}{\frac {t^{2\alpha }\,dt}{1+t^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0ad06cf07f5e48388b38ba7b1c0cf4711ccd6d)
Les équations des deux surfaces asymptotiques seront alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=\varepsilon {\frac {d}{dx}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi e^{ix}\right]\,;\\q&={\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}+\varepsilon {\frac {d}{dy}}\mathrm {partie} \;\mathrm {r{\acute {e}}elle} \left[\psi e^{ix}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3877538bfed4e7e78913ceeae4cf2ef700b6befb)