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CHAPITRE XXII.
Si d’ailleurs on pose
![{\displaystyle \mathrm {F} _{i}'={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}'\,dx_{k}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b355dda0b05f7665dcfa6b4b854c45a5830c9f0c)
on devra avoir
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1.k}'=\mathrm {M} _{2}\mathrm {A} _{2.k}'+\mathrm {M} _{3}\mathrm {A} _{3.k}'+\ldots +\mathrm {M} _{p}\mathrm {A} _{p.k}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84505615591c74a52d7137c78256319007e6bdb)
Nous aurons là
équations linéaires d’où nous pourrons tirer
les
pourvu que
Or, d’après le no 237, les
ne dépendent que des
et pas
de
il en est donc de même des
ce qui veut dire que les
sont des intégrales des équations (1).
251.Soit maintenant
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d37207f041a3c077b27fca2e1d5cfe3d675b1c)
une intégrale ; il est clair que
![{\displaystyle \int \left({\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}\,dx_{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\,dx_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305954506438493f4b7b9453b3735d89b09ddfbe)
sera un invariant intégral du premier ordre.
On peut alors se poser la question suivante :
Considérons un invariant intégral du premier ordre
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c63f8b9f2b074d6b9b66af73b67b3d30e2e5d30)
et supposons que la quantité sous le signe
soit une différentielle
exacte ; quelle relation y aura-t-il entre l’intégrale de cette différentielle
exacte et les intégrales des équations (1) ?
Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables
du no 237 ; notre invariant deviendra
![{\displaystyle \int d\mathrm {U} =\int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {C} \,dz\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e0041ada5f07d9bcb3f110c7957d8dc4142647)
Les
et
devront dépendre des
mais pas de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Si cette expression
est une différentielle exacte, la fonction
devra donc être de la forme
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5a0ebaebc3b527e0c955b829487bebe840af5f)