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CHAPITRE XXXIII.
Comment peut-il arriver que
ait une partie commune avec
L’aire
ne peut être tout entière intérieure à
puisque l’invariant
intégral a même valeur pour les deux aires. Pour la même
raison l’aire
ne peut être tout entière intérieure à
Les deux
aires ne peuvent non plus coïncider ; si en effet une portion d’une
courbe asymptotique (de la première famille par exemple) coïncidait
avec sa
ième conséquente, il en serait de même de sa
ième
antécédente quelque grand que soit
or, si
est grand, cette
ième antécédente est très voisine des points périodiques et les
principes du Chapitre VII suffisent pour montrer que cette coïncidence
n’a pas lieu.
Il faut donc supposer que le périmètre de
coupe celui de
or, le périmètre de
se compose d’un arc
appartenant à
la courbe
de la première famille et d’un arc
![{\displaystyle \mathrm {B} _{0}\mathrm {K} _{0}\mathrm {C} _{0}=\mathrm {A} _{0}\mathrm {K} _{0}\mathrm {C} _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f51d52446872a498619afcd97ffcb4cc3430612)
appartenant à la courbe
de la seconde famille.
De même, le périmètre de
se composera de l’arc
ième conséquent de
qui appartiendra à la même courbe
asymptotique que
c’est-à-dire à une courbe de la première
famille, et de l’arc
ième conséquent de
qui appartiendra à la même courbe asymptotique que
c’est-à-dire à une courbe de la seconde famille.
Deux courbes de même famille ne pouvant se couper, il faut
que
coupe
ou que
coupe
Mais si les deux arcs
et
se coupent, leurs
ième
antécédents
et
se couperont également. Il
faut donc que
coupe le
ième conséquent ou le
ième antécédent
de
Mais l’arc
tous ses antécédents et tous ses conséquents
appartiennent à une même courbe invariante de la deuxième
famille, représentée sur la figure de la page 194 par l’ensemble des
courbes
L’arc
est donc coupé une infinité de fois par cet
ensemble de courbes.
Les deux surfaces
et
qui passent par la trajectoire fermée
ont donc une infinité d’autres courbes d’intersection.