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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.
car
ne peut devenir infini que pour
d’où il suit que
est toujours croissant, sauf pour
très petit.
Soit
un point
tel que
il se trouvera sur le
demi-plan
![{\displaystyle \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {X} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f69ff5a148659ddba5ab448148a821959d74e7)
Quand
varieront conformément aux équations
différentielles, le point
décrira une certaine trajectoire ;
quand
qui croît constamment atteindra la valeur
le point
venu en
se trouvera de nouveau sur le demi-plan
Le point
est alors le conséquent de
d’après la définition
du no 305. Comme
est toujours croissant, tout point du demi-plan
a un conséquent et un antécédent ; il n’y a exception que
pour
très petit, c’est-à-dire pour les points du demi-plan qui
sont très éloignés de l’origine ou très voisins de l’axe des
Nous aurons un invariant intégral au sens du no 305 ; cherchons
à former cet invariant.
Les équations étant canoniques admettent l’invariant intégral
![{\displaystyle \int dx_{1}\,dx_{2}\,dy_{1}\,dy_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3396a1b021973925bc0d5defaff209726acce8b)
Posons
et prenons pour variables nouvelles
l’invariant deviendra
![{\displaystyle -\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {F} '\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}{\dfrac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+x_{2}{\dfrac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}}}=\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {F} '\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1bd8b014bd5079eb966cc43efa4eb01dad19bd)
De cet invariant quadruple nous déduirons
à cause de l’existence
de l’intégrale
l’invariant triple
![{\displaystyle \int {\frac {x_{1}^{2}\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ff1d8026d308745c7951c084f5dcc4f1e3267a)
Dans cette intégrale triple
sont
supposés remplacés en fonctions de
à l’aide des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}z,&\mathrm {F} '&=\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729695b9d11f95a0ce7a53801ddce4e8a2187d29)
Prenons maintenant pour variables
et appelons
le