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CHAPITRE XXXII.
pour l’orbite à chocs envisagée et par conséquent pour
soient
les valeurs de ces variables à l’instant
pour cette
même orbite à chocs,
leurs valeurs à l’instant
et
leurs
valeurs à l’instant
On aura
![{\displaystyle x_{i}^{3}=x_{i}^{0}+2m_{i}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a908f0ff7cd18010486c190a99be04efe0c72c)
étant un entier qui devra être nul en ce qui concerne les
grands axes, les excentricités et les inclinaisons.
Considérons maintenant une orbite peu différente de l’orbite à
chocs, et donnons à
une valeur très petite quoique différente
de zéro. Dans cette nouvelle orbite, nos variables prendront les
valeurs
à l’instant
à l’instant
à
l’instant
et enfin
à l’instant
La condition pour que la solution soit périodique de période
c’est
![{\displaystyle \beta _{i}^{3}=\beta _{i}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65bd763177f9878d99b8fcfaf555f43f3192c0d5)
Pour qu’en supposant
un choc se produise entre
l’instant
et l’instant
les variables
doivent satisfaire à
deux conditions.
Soient
![{\displaystyle f_{1}(\beta _{i}^{0})=f_{2}(\beta _{i}^{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0912cb71af8f1afd98055f0cb00d593fe4b0c7a1)
ces deux conditions.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(\beta _{i}^{0})&=\gamma _{1}^{0}\mu ,&f_{2}(\beta _{i}^{0})&=\gamma _{2}^{0}\mu \,;&\beta _{k}^{0}&=\gamma _{k}^{0}\quad (k=3,\,4,\,\ldots ,\,11)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa9f33f79f869dda39d9817e6bd143704a853fe)
on voit que les
sont des fonctions holomorphes des
et de
en appliquant les principes du Chapitre II on démontrerait qu’il
en est de même des ![{\displaystyle \beta _{i}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b34bee4cac3603604f1a6b63af33c4275de7a44)
Pour qu’il y ait un choc entre les instants
et
(en supposant
) il faut deux conditions que j’écris
(1)
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Remplaçant dans les relations (1) les
par leurs valeurs en
fonction des
et de
et faisant ensuite
je trouve
![{\displaystyle \theta _{1}(\gamma _{i}^{0})=\theta _{2}(\gamma _{i}^{0})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20105b29870a6caa1cbf8ee9e46257d00e1c24fe)
Posons alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(\gamma _{i}^{0})&=\gamma _{1}^{1}\mu ,&\theta _{2}(\gamma _{i}^{0})&=\gamma _{2}^{1}\mu \,;&\beta _{k}^{1}&=\gamma _{k}^{1}\quad (k=3,\,\ldots ,\,11)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73630ab933a41f7271fc83589d89ace9bc1a279)