J’observe d’abord que cette quantité est du troisième ordre, ce qui, d’après le numéro précédent, nous montre que nos foyers seront en général des foyers en pointe ou en talon. Je dis maintenant que cette quantité est toujours de même signe et que son coefficient ne peut s’annuler.
En effet, les deux constantes et sont liées par la relation
ce qui peut s’écrire, puisque et sont des quantités infiniment petites
| (1) |
D’autre part est purement imaginaire, et sont imaginaires conjuguées ; il en est de même de et de
Le produit est donc essentiellement positif et ne peut s’annuler ; car et ne peuvent être nuls à la fois.
D’autre part on ne peut avoir
| (2) |
car les équations (1) et (2) entraîneraient
Mais ces équations sont impossibles ; elles signifieraient que toutes les trajectoires très voisines de vont passer par le point ce qui est évidemment faux.
Notre quantité a donc toujours le même signe. Nos foyers sont donc tous en pointe, ou tous en talon ; tout dépend du signe de
373.Nous avons dû laisser de côté le cas où serait nul, cas exceptionnel où tous les foyers seraient singuliers ; et celui où serait égal à 2, 3 ou 4 ; voici pourquoi :
On a vu que, dans les calculs du Chapitre VII, s’introduisent de petits diviseurs
(Cf. no 104, t. I, p. 338).
Le calcul se trouve arrêté et des termes séculaires apparaissent si l’un de ces diviseurs s’annule.
