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CHAPITRE XXXI.
Il pourrait arriver enfin que
fût un point singulier de
plus
compliqué qu’un point de rebroussement ordinaire ; je dirais alors
que c’est un foyer singulier.
Je ferai seulement observer qu’on ne peut passer d’un foyer en
pointe à un foyer en talon que par un foyer singulier ; car, au
moment du passage,
doit être de l’ordre de
372.Considérons maintenant une solution périodique quelconque ;
elle correspondra à une trajectoire
fermée. Soit
l’exposant caractéristique et
la période. Nous avons vu au Chapitre XXIX
comment on parvient à déterminer les foyers cinétiques
successifs (no 347).
Supposons que
soit égal à
étant un nombre commensurable
dont le numérateur est
Dans ce cas l’application de la
règle du no 347 montre que chaque point de
coïncide avec
son
ième foyer.
Si en effet on prend comme au no 347 une unité de temps telle
que la période
soit égale à
il vient
Si l’on désigne
par
la valeur de la fonction
au point
soient
les valeurs de cette fonction
au premier, au second,
au
ième foyer de
nous aurons d’après la règle du no 347,
![{\displaystyle \tau _{1}-\tau _{0}={\frac {i\pi }{\alpha }},\quad \tau _{2}-\tau _{0}={\frac {2i\pi }{\alpha }},\quad \ldots ,\quad \tau _{2p}-\tau _{0}={\frac {2pi\pi }{\alpha }}={\frac {2p\pi }{n}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5a98d377932f3fde99022232d5601e36d8c403)
Si
est le numérateur de
on voit que
est un multiple
de
c’est-à-dire que
et son
ième foyer coïncident.
La trajectoire issue du point
et infiniment voisine de
viendra donc repasser par le point
après avoir fait
fois
le tour de la trajectoire fermée
si
est le dénominateur
de
Le point
est donc son
ième foyer ; mais on peut se
demander à quelle catégorie de foyers il appartient, au point de
vue de la classification du numéro précédent.
Adoptons un système de coordonnées analogues au coordonnées
polaires de telle sorte que l’équation de la trajectoire
fermée
soit
![{\displaystyle \rho =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be1a852fccaddc2582e41b89a02b41b1ff4ffe7)