CHAPITRE XXIX.
DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
336.Soient
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}x_{1},&x_{2},&\ldots ,&x_{n},\\y_{1},&y_{2},&\ldots ,&y_{n}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd481dd7a6e385a3e924cecad84243303aebd1bf)
une double série de variables et
une fonction quelconque de
ces variables. Considérons l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-\mathrm {F} +\sum y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af24759406c205a5b4ff40340847880cfc9dd098)
La variation de cette intégrale peut s’écrire
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} =\int \left(-\delta \mathrm {F} +\sum \delta y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+\sum y_{i}\,{\frac {d\,\delta x_{i}}{dt}}\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3c5c8b252fa3d2696e45010fc76b87b16f2e57)
Pour que cette variation s’annule, il faut d’abord que l’on ait
(1)
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ce qui nous donne les équations canoniques, mais cette condition
n’est pas suffisante. Si elle est remplie, on a
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} =\sum {\big [}y_{i}\,\delta x_{i}{\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2dcbe6a4dde9d5cb65655ce04bd0a8e991c3f72)
et il faut encore que le second membre de cette égalité soit nul.
C’est ce qui arrive si l’on suppose que les
sont nuls aux deux
limites, c’est-à-dire que les valeurs initiales et finales des
sont
données. Dans ces conditions, l’intégrale
qu’on appelle l’action
est minimum.
Changeons de variables ; soient
les nouvelles variables et
imaginons qu’elles aient été choisies de telle sorte que
(2)
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