22
CHAPITRE XXII.
deux invariants intégraux du premier ordre ; je suppose, ce qui
est le cas le plus général, que
et
sont des fonctions linéaires
et homogènes des différentielles ![{\displaystyle dx_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff0d869d200c671f06706fd6e83870e7986236a)
Les expressions
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183e40dfd6177cd0a6b2e22b062e0fe79f31092d)
seront homogènes et du premier ordre par rapport aux
et ce
seront des intégrales des équations (2).
De même
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a118294f3c114841ea4e5d2bc4d1fec87d6201)
seront des intégrales des équations (6).
Il en résulte que
(10)
|
|
|
sera une intégrale du système (6).
Comme
et
sont linéaires par rapport aux
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{1}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}')\,;&\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{2}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e794c5483e71278611d61eb6069f6364b7a51901)
Il en résulte que l’expression (10), qui d’ailleurs change de
signe quand on permute les
et les
ne change pas quand on
change
en
Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction
linéaire et homogène des déterminants
![{\displaystyle \xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ef36f200f72945cf54ab982a90fe5c0203ce94)
les coefficients dépendant des
seulement, mais non des
et des ![{\displaystyle \xi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578fdcc28ae09d6ef46527bb6149ad1e3f08561d)
De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant
intégral du deuxième ordre des équations (1).
Soient maintenant
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe55a0e2e1f942f87757a0c5a9983458f309234)
deux invariants intégraux des équations (1), le premier du premier
ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que
et
sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport
aux
différentielles
la seconde par rapport aux
produits
produits
![{\displaystyle dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5851d8dd9310dddbbad4c049723087c8c262ba49)