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INVARIANTS INTÉGRAUX.
L’intégrale (3) se réduit alors, comme nous l’avons vu, à
(4)
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Comme l’intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être
constante.
C’est donc une intégrale des équations (2).
C. Q. F. D.
Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équations (1)
correspond une intégrale des équations (2) et réciproquement.
243.Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants
d’ordre supérieur au premier.
Considérons deux solutions particulières quelconques des équations (2) ; soient
(5)
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ces deux solutions.
Il peut exister des fonctions
![{\displaystyle \mathrm {F} (x_{i},\xi _{i},\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d43b6f713a9ad9ec12a76b9a9a90c312f7a252f)
qui dépendent à la fois des
des
et des
et qui, quelles que
soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes
indépendantes du temps.
En d’autres termes, la fonction
sera une intégrale du système
(6)
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auquel satisfont les
et les ![{\displaystyle \xi _{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ed313921bab5be0bd535a066238d5a916c847f)
Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que
soit de la forme
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe5db461b8e803ca295f1b86add9c2dfbf3e622)
les
étant fonctions des
seulement.
Je dis alors que l’intégrale double
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267f9ac28a49eff77b26fa719fcd47c278b343d2)
est un invariant intégral des équations (1).