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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
respondent deux solutions périodiques, puisque l’on tire des relations
entre
et
deux systèmes de valeurs pour les
inconnues
et
Il n’en est rien cependant. Nous pouvons
en effet sans restreindre la généralité supposer
positif ; car
nous ne changeons rien à nos formules en changeant
en
et
en
Or, de nos deux systèmes de valeurs il n’y en a qu’un pour
lequel
soit positif.
Donc :
Deux solutions périodiques réelles du deuxième genre pour
(ou pour
).
Aucune solution du deuxième genre pour
(ou pour
).
Reprenons les notations du Chapitre XXVIII et, en particulier,
du no 331.
se réduit à
et correspond au terme en
qui figure
dans
se réduit à un facteur constant multiplié par
correspondant
aux termes provenant de
et
Le premier terme de
qui ne se réduit pas à une puissance
de
est de la forme
![{\displaystyle \rho ^{k+2}\left[\mathrm {A} \cos(k+2)\varphi +\mathrm {B} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6364954c2fee83e5bffacbddf4f63d564aef67f7)
et provient de ![{\displaystyle \Theta _{k+2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b49b61d4e2fa8ee1a577c8f623ca6b8b2a9253b)
La fonction dont nous avons à étudier les maxima et minima et
qui doit jouer le rôle de la fonction
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc14058859a207e8b657cec1da6511a80ea739b)
étudiée à la page 246, cette fonction, dis-je, sera de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \rho ^{k+2}\cos(k+2)\varphi +\mathrm {P} \rho ^{4}-z\rho ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835236fd9eae80c9dae44c4362af59c1d8baeeca)
étant un polynôme entier en
à coefficients constants.
Nous avons laissé de côté les cas particuliers où le dénominateur
de
est égal à 2, 3 ou 4.