246
CHAPITRE XXVIII.
dans l’analyse du no 331, soit homogène du troisième degré seulement
en
et
L’équation
(1)
|
|
|
admet toujours, comme nous l’avons vu, des racines réelles.
Le théorème est ici d’ailleurs évident, puisque cette équation
est du troisième degré en
Elle peut avoir une ou trois racines
réelles ; supposons d’abord qu’elle n’en ait qu’une pour fixer les
idées.
Si alors nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\alpha _{1}\rho \cos \varphi +b_{1}\rho \sin \varphi \\x_{1}&=\alpha _{2}\rho \cos \varphi +b_{2}\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f20c5df7c17b781fc486ba2a8c2763b56bb4df)
en choisissant les coefficients
et
de telle sorte que
se
réduise à
le rapport
considéré au
no 331
admettra seulement un- maximum et un minimum, quand
variera
de
à
ce maximum et ce minimum d’ailleurs égaux et de
signes contraires correspondront à des valeurs de
distantes de ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
On aura alors
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc14058859a207e8b657cec1da6511a80ea739b)
La fonction
présente un maximum et un minimum égaux
et de signes contraires ; la fonction
présente alors :
Pour
un maximum pour
et deux minimax.
Pour
un minimum pour
et deux maxima.
J’appelle minimax, à l’exemple des Anglais, un point pour
lequel les dérivées premières s’annulent et où il n’y a ni maximum,
ni minimum.
La fonction
se comportera de la même manière, puisque, si
est très petit, les termes
auront seuls de l’influence.