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INVARIANTS INTÉGRAUX.
intégrales des équations (1), et
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{n}(dx_{i}\,dx_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6be017e650c447f5b5d8e0d8f6cd801573bab81)
invariants intégraux du second ordre. Les
seront des fonctions
des
et des produits de différentielles
![{\displaystyle dx_{i}\,dx_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5851d8dd9310dddbbad4c049723087c8c262ba49)
Elles seront homogènes et du premier ordre par rapport à ces
produits.
Alors
![{\displaystyle \mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b33061720c2a46033bf5d409909a266726c495)
seront des intégrales du système (6).
Si alors
![{\displaystyle \Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758c9c4ac81476929f526d8669242055b5576567)
est une fonction quelconque des
et des
homogène du premier
ordre par rapport aux
l’expression
![{\displaystyle \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7430eeb825e11a491f0e22c05fa68262d856e8a6)
sera une intégrale des équations (6) ; elle sera de plus homogène
et du premier ordre par rapport aux déterminants
![{\displaystyle \xi _{k}\xi _{i}'-\xi _{k}'\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2176f956b12735e2db2e823b905abe0e49057bd3)
Il en résulte que l’intégrale double
![{\displaystyle \int \Theta \left[\Phi _{\mu },\mathrm {F} _{l}(dx_{i}\,dx_{k})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e80e327056356167422b0ca24c3cf62e7489d4d)
sera un invariant intégral du second ordre des équations (1).
247.Nous avons ainsi le moyen, connaissant plusieurs invariants
du même ordre, de les combiner de façon à obtenir d’autres
invariants du même ordre.
Le même procédé permet, connaissant plusieurs invariants du
même ordre, d’obtenir de nouveaux invariants d’ordre différent.
Soient, par exemple,
![{\displaystyle \int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1b49b9349d98baa219c12b96f9ec529c691147)