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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Nous avons donc, à des quantités près de l’ordre de
en
égalant les termes séculaires dans l’équation
(20)
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En première approximation, c’est-à-dire aux quantités près de
l’ordre de
on a (Cf. p. 99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=1\,;&n_{2}&=in\,;&n_{2}t+\varpi _{2}&=v=v_{0}=i(nt+\varpi ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c93ca466079ab4bf38aff81afd3172f3803cc5)
Nous commettrons donc une erreur de l’ordre de
si, dans le
second membre de (20), nous remplaçons
![{\displaystyle \alpha _{0},\quad \beta _{0},\quad y_{2},\quad v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf5285ff522e8cbce606ae38a78b0dd64b5490d)
par
![{\displaystyle \xi _{0},\quad u_{0},\quad t,\quad i(nt+\varpi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a967b86e63865950d78e45006faf6c502f062576)
Nous obtiendrons donc
en faisant cette même substitution
dans
Mais
ne contient que des termes en
![{\displaystyle im_{1}y_{2}+m_{2}v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898fdd7d93c99a2c8b14709bd9c128d7a45b10cf)
où
![{\displaystyle im_{1}+2m_{2}\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9304ff0acf582f34f7f2e557c500411de4feebcf)
On a donc
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dy_{2}}}=-2\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {U} _{k}}{dv}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e0c7a1231f16589477cece0cd0ec286588a2ec)
Or,
est une fonction périodique de
et
donc
ne
contient pas de terme indépendant de
Donc
ne contient
pas de terme indépendant de
C. Q. F. D.
Pour faciliter l’intelligence du calcul qui précède, je ferai
encore une remarque. Les moyens mouvements
et
sont
donnés par
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\alpha _{0}}},&n_{2}&=-{\frac {d\mathrm {C} }{d\beta _{0}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aa4fd10ad7a9b7481a9abb0e3fc3a345f510c9)
En général, ils dépendent de
et ils ne se réduisent à 1 et
que pour
Mais ici nous disposons de deux paramètres
et
qui peuvent