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CHAPITRE XXII.
dépendront des
et de leurs différentielles
Elles pourront
dépendre des
d’une manière quelconque ; mais par rapport aux
différentielles
![{\displaystyle dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce2bc818470d73ed28d1a52df69f961d5a48828)
elles devront être homogènes et du premier ordre.
Alors
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(\xi _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e8954c249b5421118695a419c50dea678cacd7)
seront des intégrales des équations (2) et seront homogènes et du
premier ordre par rapport aux ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)
Soit maintenant
![{\displaystyle \Theta \left(\Phi _{1},\Phi _{2},\ldots ,\Phi _{p};\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\ldots ,\mathrm {F} _{q}\right)=\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{i}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fc3b1c11117cdb5368f215fc292b10c72c3804)
une fonction des
et des
dépendant des
d’une manière quelconque,
mais homogène et du premier ordre par rapport aux ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
Alors
![{\displaystyle \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0faf77e52358e91510361f6952b366c4d9117ddc)
sera une nouvelle intégrale des équations (2) ; de plus ce sera une
fonction homogène et du premier ordre par rapport aux ![{\displaystyle \xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590fd98954ba468f505f262c67f06f0337ec4e48)
Il en résulte que
![{\displaystyle \int \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(dx_{i})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dd0af1120278d969f70eeea2b22b64cb281283)
est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).
On aurait pu arriver tout aussi facilement au même résultat
en transformant les invariants par le changement des variables
du no 237.
Par exemple
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {F} _{1}+\mathrm {F} _{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d0c627ee64bff019c19c18d6fac9990538f87b)
et
![{\displaystyle \int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}^{2}+\mathrm {F} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242b33c923a6c289b93d4646dc984f25125f9fe0)
seront des invariants intégraux.
246.Le même calcul peut s’appliquer aux invariants d’ordre
plus élevé.
Soient encore
![{\displaystyle \Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9993145f6bb3616e53d05b355871e50f77ed91)