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CHAPITRE XXIX.
que cette courbe fermée corresponde à une solution périodique
instable de la première catégorie.
356.Cette condition est-elle suffisante ? Pour nous en rendre
compte, étudions les solutions asymptotiques correspondant à une
pareille solution périodique instable.
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\varphi _{0}(t),&y&=\psi _{0}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def564f5259cc3b1b0212d7bfdb99e024fdd9327)
les équations de la solution périodique et
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\varphi _{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\varphi _{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\varphi _{2}(t)+\ldots ,\\y&=\psi _{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\psi _{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\psi _{2}(t)+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c9d966de4e2aeb5c6c62fa28346bc677538e90)
celles des solutions asymptotiques. Les fonctions
et
seront des fonctions périodiques de
Nous pourrons aussi écrire,
en posant ![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\alpha t}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d966c7e9497b50bbbc54bd614474be58aeb85a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\varphi _{0}(t)+u\varphi _{1}(t)+\ldots =\Phi (t,u),\\y&=\psi _{0}(t)+u\psi _{1}(t)+\ldots =\Psi (t,u).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9260c8c2fdd598aa668fb1cfeb59ddf29404e3cf)
Si
est suffisamment petit,
et
seront des fonctions uniformes
de
et de
périodiques par rapport à
de période
De plus, le déterminant fonctionnel
![{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (t,u)}}={\frac {d\Phi }{dt}}{\frac {d\Psi }{du}}-{\frac {d\Psi }{dt}}{\frac {d\Phi }{du}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059239a72fae16edcf5a15d8338f3ce5b3e425bd)
ne s’annulera pas. En effet, pour
ce déterminant se réduit à
![{\displaystyle \varphi _{0}'(t)\psi _{1}(t)-\psi _{0}'\varphi _{1}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b1950bcd3864ddee5a4157bf52fe4ca07a32be)
Or cette expression n’est autre chose que l’expression
![{\displaystyle \xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ced32174a95427b5743297f7c8567be98e5a9ac)
du no 345 divisée par
Elle ne s’annulera donc pas si la solution
instable est de la première catégorie.
Donc, le déterminant fonctionnel, ne s’annulant pas pour
ne s’annulera pas non plus pour
suffisamment petit.
Donc, si
est suffisamment petit,
et
seront des
fonctions uniformes de
et de
Les équations des solutions asymptotiques s’écrivent
(1)
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