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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Si le système est isolé,
dépendra seulement de
sera une forme quadratique homogène par rapport à
dont les coefficients dépendent seulement de
On aura alors l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{d\omega '}}=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f64d8138367ae5e827a6731c9fcf93a16bdb842)
où
est une constante ; c’est l’intégrale des aires.
Cela posé, soit
l’action hamiltonienne
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {H} \,dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df76d09a1b97d9fec9b24768a9fa5984232df65)
on aura, si les équations du mouvement sont satisfaites,
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} =\left[\sum {\frac {d\mathrm {T} }{dx_{i}'}}\,\delta x_{i}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega '}}\,\delta \omega \right]_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c7b4c8c5bf4a95b74573073c8f3d7781437eeb)
L’action sera minimum (ou plutôt sa première variation sera
nulle) si les valeurs initiales et finales des
et de
sont regardées
comme données, c’est-à-dire si
pour
et
pour
Supposons maintenant que nous regardions comme données les
valeurs initiales et finales des
mais pas celles de
nous
aurons
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} ={\big [}p\,\delta \omega {\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}=p\,{\big [}\delta \omega {\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73117a6d8b9dc87a9785569bbb3415b1435b74c9)
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {H} '=\mathrm {H} -p\omega '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288f81c81c5b503b5e21151870777b0d0e88b1c9)
et
![{\displaystyle \mathrm {J} '=\int \mathrm {H} '\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4c125b73f09a9f3c681e66ced6bf6259553082)
il viendra évidemment
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99b53d751b77bde6216630f56a095bcb189b13a)
De l’équation
on tire
qui est une fonction linéaire
non homogène des
on voit ainsi que
est une fonction
quadratique non homogène par rapport aux
est donc de la forme
étudiée au no 338.
Ainsi l’intégrale
sera minimum, alors même que les valeurs
initiale et finale de w ne sont pas regardées comme données.