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CHAPITRE XXIX.
ont leurs seconds membres linéaires et homogènes par rapport
aux
donc
est homogène du second degré par rapport
aux
soit alors
ce que devient
quand on y remplace
par
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {d\tau ^{2}}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aafaf32d5d9bb782aed2165a066611ec5343e5e)
et
sera une forme linéaire et homogène par rapport aux
différentielles
on déduit de là
![{\displaystyle dt={\frac {d\tau }{\sqrt {\mathrm {T} }}}={\frac {d\tau }{\sqrt {\mathrm {U} +h}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea91948a5c370b3d3d53939afe70d52246ecddc5)
L’action maupertuisienne aura alors pour expression
![{\displaystyle 2\int d\tau \,{\sqrt {\mathrm {U} +h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d476bd37a858607924d03e145d1c63548111263)
338.Pour pouvoir étudier d’autres cas particuliers, posons,
pour abréger,
![{\displaystyle x_{i}'={\frac {dx_{i}}{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3689999e483d61bb7f1e518988081820929582fa)
tirons les
des équations
![{\displaystyle x_{i}'={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da68d267be894cb395284ed84f658a5ec2c3db1)
de façon à prendre pour variables nouvelles les
et les
désignons
par des
ordinaires les dérivées prises par rapport aux
et aux
et par des
ronds les dérivées prises par rapport aux
et aux ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
On trouverait facilement les relations bien connues
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}={\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}'}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}}}&=-{\frac {\partial \mathrm {F} }{dx_{i}}},\\\mathrm {F} =\sum x_{i}'\,{\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}'}}&-\mathrm {H} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f89b2a723f8fb8c89a230198ee1d1f557b7026)
et l’on verrait que les équations (1) sont équivalentes aux équations
de Lagrange,
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial x_{i}'}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{dx_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8681bd6789b6d1e9beec58e8489b0e20155d03db)