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CHAPITRE XXIX.
mière série des équations (1), c’est-à-dire à
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308b712e31785eb9c76b351329ba3cca214b14f6)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-\mathrm {F} +\sum y_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\right)dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {H} \,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da582aabde822da3553c9f87e1d480a75950f27e)
en posant
![{\displaystyle \mathrm {H} =-\mathrm {F} +\sum y_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cfd1bed56b87d22f22bfb1e454903978f8c6a3)
L’action
ainsi définie, est minimum.
C’est le principe de moindre action mis sous sa forme hamiltonienne.
Supposons maintenant
![{\displaystyle h=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065f290e6635e2e981323aaeba46da313b7b00fb)
Ne regardons donc plus les variables
et
comme indépendantes,
mais imposons-leur la condition
![{\displaystyle \mathrm {F} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13b5357445ac3e26ccc3ae031387565809c6341)
Cette restriction, compatible avec les équations (1), n’empêchera
pas l’action
d’être minimum.
Alors
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int \sum y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35362ccc2b4e2e7ad8fcef823090961ee885029)
et, comme
est nul, cette intégrale est minimum quand même on
ne regarde pas
et
comme donnés.
Imposons-nous alors les conditions
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/308b712e31785eb9c76b351329ba3cca214b14f6)
d’où nous tirons les
en fonction des ![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee19ddb25b5da66f6cce89704ed4d0d3f64533e)
![{\displaystyle y_{i}=\varphi _{i}\!\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dx_{2}}{dt}},\ldots ,{\frac {dx_{n}}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9c13d210c60957f8f72b64f8c98aff6ea1d9cf)
ou encore
(7)
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Substituons, à la place des
leurs valeurs (7) dans
et dans