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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
senter les dérivées de cette même fonction
regardée comme
fonction des variables (β).
Je me propose de démontrer l’équivalence des équations (1) et
(1 bis).
Le no 322 nous a donné
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ea9e83beb2ef7a19f97bb2a9054584edb40ad4)
Les équations (1) peuvent donc s’écrire
![{\displaystyle -(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595009a184a77a88167c5ad0b430f42188073f38)
et les équations (1 bis)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad -(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}&=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1),\\\mathrm {X} _{n}-\xi _{n}&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7294625c91670c21f3666917a29bfa324c0c27f0)
Mais, en vertu de l’équation des forces vives, on a identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} (\mathrm {X} _{i},\mathrm {Y} _{i})=\mathrm {F} (\xi _{i},\eta _{i}+2m_{i}\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3eeb7f606477515862915197927ee5041601546)
Or, d’après les équations (1 bis), tous les
sont égaux aux
et tous les
(sauf un), à
L’identité précédente peut
donc s’écrire de la manière suivante ; j’écris, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n};\,\eta _{1}\!+\!2m_{1}p,\eta _{2}\!+\!2m_{2}\pi ,\ldots ,\eta _{n-1}\!+\!2m_{n-1}\pi ,\mathrm {Y} _{n})=\mathrm {F} (\mathrm {Y} _{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c2e5e017b1567fbf9f30a700d92386b2ec5ba8)
Mon identité peut s’écrire sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {F} \left[\eta _{n}+2m_{n}\pi +(\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi )\right]-\mathrm {F} \left(\eta _{n}+2m_{n}\pi \right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3338cf87f6c60512cc04c2c9c2c8882aa044265b)
ou, en vertu du théorème des accroissements finis,
(2)
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où
est compris entre 0 et 1, et où
est la dérivée de
par
rapport à ![{\displaystyle \mathrm {Y} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eee0ae99ae39f114ce0105782355103edf3fa03)
Soient
et
les valeurs de
et
qui correspondent à la
solution périodique de période
le domaine envisagé ne comprend
que le voisinage immédiat du point
donc
et
ne s’écarteront jamais beaucoup de
ni
ou
de
donc le second facteur
de la relation (2) ne
s’écarte jamais beaucoup de sa valeur pour
et
cette valeur ne sera pas nulle en général.