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CHAPITRE XXVIII.
une solution périodique de période
de telle sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{i}(0)&=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),&\varphi _{i}'(0)&=\varphi _{i}'(\mathrm {T} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aba31f8249e30ef6f25ccf8dc48c893840c2fb3)
À cette solution pourra correspondre un maximum ou un minimum
de la fonction
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\\x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'',&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}''\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea4f3ab4a84bd4646cd102a2656d0ee8f42c398)
deux solutions très peu différentes de cette solution périodique.
Je supposerai que
soient assez petits pour qu’on
puisse en négliger les carrés et qu’on puisse regarder ces quantités
comme satisfaisant aux équations aux variations (Cf. Chapitre IV).
Soient
et
les valeurs de
et
pour
et
les
valeurs de
et
pour
Pour savoir si
a un maximum ou un minimum, il suffit d’étudier
l’ensemble des termes du second degré dans le développement
de
suivant les puissances des
et des
Or il est aisé de reconnaître que cet ensemble de termes se
réduit à
![{\displaystyle \sum \left(\mathrm {X} _{i}'\eta _{i}'-\mathrm {Y} _{i}'\xi _{i}'\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c738f5329491bddbe849a855688f10dd61cd2277)
Étudions l’expression
(1)
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|
D’après le no 56, cette expression doit se réduire à une constante.
Quelle est la forme de la solution générale des équations aux
variations.
S’il y a
degrés de liberté, nous aurons
solutions particulières
de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}(t),&y_{i}'&=e^{\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182cb3d0f00032469596f3aa1e72376cf912e3bc)
Les
sont les exposants caractéristiques et les
sont des fonctions
périodiques de période ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous aurons
autres solutions de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}''(t),&y_{i}'&=e^{-\alpha _{k}t}\theta _{k.i}'''(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335ce502bfb81a2e292607bbbf4450eb66ee89cf)
correspondant aux exposants
qui sont égaux et de signe
contraire aux
exposants ![{\displaystyle \alpha _{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e7709314b2ed3056096cc8e9fddce153d1dc53)