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CHAPITRE IV.

Équations aux variations de la Dynamique.

56.Soit $\mathrm {F}$ une fonction d’une double série de variables

${\begin{array}{rrrr}x_{1},&x_{2},&\ldots ,&x_{n},\\y_{1},&y_{2},&\ldots ,&y_{n}\,\\\end{array}}$

et du temps $t.$

Supposons que l’on ait les équations différentielles

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Considérons deux solutions infiniment voisines de ces équations :

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},\quad y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n},$

qui servira de solution génératrice et

$x_{1}\!+\!\xi _{1},\;\;x_{2}\!+\!\xi _{2},\;\;\ldots ,\;\;x_{n}\!+\!\xi _{n},\quad y_{1}\!+\!\eta _{1},\;\;y_{2}\!+\!\eta _{2},\;\;\ldots ,\;\;y_{n}\!+\!\eta _{n},$

les $\xi$ et les $\eta$ étant assez petits pour qu’on puisse négliger leurs carrés.

Les $\xi$ et les $\eta$ satisferont alors aux équations différentielles linéaires

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=\;\;\;\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}+\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k},\end{aligned}}\right.$

qui sont les équations aux variations des équations (1).

Soit $\xi '_{i},\eta '_{i}$ une autre solution de ces équations linéaires, de sorte que

(2′)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi '_{i}}{dt}}&=\;\;\;\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi '_{k}+\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta '_{k},\\{\frac {d\eta '_{i}}{dt}}&=-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi '_{k}-\sideset {}{_{k}}{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta '_{k},\end{aligned}}\right.$

Multiplions les équations (2) et (2′) respectivement par $\eta '_{i},$ $-\xi '_{i},$