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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.
En supposant toujours
les trajectoires issues des divers
points de cette circonférence auront pour équation générale
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=n_{1}t+\mathrm {const.} ,&y_{2}&=n_{2}t+\mathrm {const.} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc265029cb0b37a57fce2622bb030be71524c62)
d’où
![{\displaystyle y_{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}y_{2}+\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939dea489e2a728667cf7d04663c16ee4e2dcec3)
Pour avoir les conséquents successifs d’un point donné, il suffira
de faire successivement
![{\displaystyle y_{2}=0,\quad y_{2}=2\pi ,\quad y_{2}=4\pi ,\quad \ldots ,\quad y_{2}=2k\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d1f34f16565a51289c054665d2c9b584fd94f1)
Pour passer d’un point à son conséquent il suffit donc d’augmenter
de
![{\displaystyle {\frac {2\pi n_{1}}{n_{2}}}=-{\frac {2\pi m_{2}}{m_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af899d92239382cbc9e11fe1fec436ac08f0c317)
d’où il suit que tous les points de la circonférence invariante
coïncideront avec leur
ième conséquent.
Ce point et ses
premiers conséquents sont distribués
sur cette circonférence dans un ordre circulaire qu’il est aisé de
retrouver quand on connaît les deux entiers
et
je l’appellerai
l’ordre
Ne supposons plus
les équations (1), d’après le Chapitre III, admettront encore des solutions périodiques peu différentes
des solutions
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=b,&y_{1}&=n_{1}t+\mathrm {const.} ,&y_{2}&=n_{2}t+\mathrm {const.} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b235a0d430b2c41129a52594ae5cf06ad5718a)
Elles en admettront au moins deux dont l’une instable et l’autre
stable. À chacune de ces solutions périodiques correspondra une
trajectoire fermée ; je considère une de ces trajectoires que j’appelle
et qui correspondra à une solution instable, afin que par
passent deux surfaces asymptotiques.
Soit
le point où cette trajectoire perce le demi-plan
ses conséquents successifs (fig. 7). Le point
coïncidera avec son
ième conséquent
Je joins le point
au centre de la circonférence
le
rayon ainsi mené coupera la circonférence en un point
très
voisin de
Les divers points
se succéderont sur la circonférence
dans l’ordre circulaire