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CHAPITRE XI.
Cette série, développée suivant les puissances des quatre constantes
qui sont de l’ordre du carré des excentricités, satisfait
formellement à l’équation (1).
Posons, comme au no 138,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} &=\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,\\\mathrm {T} &=\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {V} _{3}\omega _{3}+\mathrm {V} _{4}\omega _{4}+\mathrm {T} ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ad9bdcf879136bc4c76dd046edbd7cce9cdeca)
étant périodique par rapport aux
et les
étant des constantes
développables suivant les puissances croissantes des ![{\displaystyle \Omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859d6aab59c0852f9213ff1a37203cf17774024a)
Les
sont inversement développables suivant les puissances
des
on peut aussi développer T suivant les puissances des
et la série ainsi obtenue satisfait encore formellement à l’équation (1).
Nous allons maintenant faire un changement de variables analogue
à celui du no 138 [[[Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/75#Eq.138-3|équations (3)]], (4) et (5)].
Nous poserons donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&v_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}},&\lambda _{2}&=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},&\lambda '_{2}&=\lambda '_{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9aa6a98fc91d1b5c6b5d7850847123775e812f)
En remplaçant les variables anciennes
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\omega _{i}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0c6b013b753060c84c7fcdec1fd0bc05b98b09)
par les nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e12b4b854a68abd138bab144b07d434b71eefa)
on n’altère pas la forme canonique des équations.
On démontrerait comme dans le no 138 :
1o Que les
sont de l’ordre du carré des excentricités ;
2o Que les quantités
sont des fonctions périodiques des
3o Que
est développable par rapport aux puissances croissantes
de
des
et des
les
étant eux-mêmes
développables suivant les puissances croissantes des
4o Que
est une fonction périodique des
de
et
5o Que la valeur moyenne de
considérée comme fonction
périodique des deux variables
et
est égale à
et ne dépend
que de
et des