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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
Cas des orbites planes.
138.Après ce changement de variables les équations du mouvement
prennent la forme suivante.
Les deux séries de variables conjuguées sont
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa85a67fcf1606d4969b57857d0fe078c698879)
et l’on a
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfe83ba5688cc6098e9b31a15a34bf3c5c77cae)
ne dépend que de
et de
et
qui sont périodiques
par rapport à
et
sont développables suivant les puissances de
![{\displaystyle \cos \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}},\qquad \sin \omega _{i}{\sqrt {\rho _{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a193264a830427f70749663317a7f6e0591146)
De plus, ces fonctions ne changent pas quand on augmente
et
d’une même quantité ; elles ne dépendent donc que des
différences,
![{\displaystyle \lambda _{i}-\omega _{i},\quad \lambda '_{i}-\omega _{i},\quad \omega _{k}-\omega _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaaff9c2f3c3ec62fbc021b136473b4b836dec5)
Si dans
nous remplaçons
par
et que nous égalions
à
une constante, en regardant d’ailleurs
et
comme des constantes
données, nous obtiendrons une équation aux dérivées partielles
(1)
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D’après ce que nous avons vu aux nos 134 et 135, il suffit de
savoir intégrer cette équation pour pouvoir former des séries développées
suivant les puissances croissantes de
et satisfaisant
formellement aux équations du mouvement,
(2)
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Il est un cas particulier où l’intégration de l’équation (1) est