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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.
et enfin
(5)
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Si je pose
sera réel, et j’aurai
(6)
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Nous discuterons plus loin les expressions (5) et (6) ; montrons
d’abord comment on conduirait les approximations suivantes.
On trouverait
(7)
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étant une fonction connue de
et de
périodique par rapport
à
et que par conséquent nous pourrons mettre sous la forme
![{\displaystyle \Phi ={\textstyle \sum }\,\varphi _{n}e^{nix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d4835e13dddf9744a3e5b4b12c49f81c548a6b)
étant un entier positif ou négatif et
une fonction connue
de
dans la somme du second membre le nombre des termes
est limité. Si nous posons alors
![{\displaystyle \mathrm {S} _{2}={\textstyle \sum }\,\psi _{n}e^{nix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf7180fefdca90189a2213e3b1ff4134ae70a28a)
ne dépendant que de
la fonction
devra satisfaire à l’équation
différentielle
![{\displaystyle in\psi _{n}+2{\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi _{n}}{dy}}=\varphi _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391f72ef2943306c84383b65cc922e1db3b32912)
Cette équation étant tout à fait de même forme que (4 ter) se
traitera de la même manière.
Les fonctions
seraient données ensuite par une
équation de même forme que (7) et qui se traiterait de la même
manière.
Cette méthode a été employée sous une forme assez différente
par M. Gyldén dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.
Discutons maintenant les expressions (5) et (6).