454
CHAPITRE XXI.
est alors la partie réelle de la fonction
définie par l’équation
(4 bis)
|
|
|
nous l’obtiendrons en posant
![{\displaystyle \Sigma =\psi e^{ix},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e14af69d87f37ca5a3b7eaeb3f568e3a2d4a1f)
d’où
(4 ter)
|
|
|
Pour intégrer cette équation linéaire, intégrons d’abord l’équation
sans second membre qui peut s’écrire
![{\displaystyle \alpha \psi +{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,{\frac {d\psi }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bdba6e79e49c50689e920d11dc7c7fe059faf1)
en posant
![{\displaystyle \alpha ={\frac {i}{2{\sqrt {2\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce68ab0886758b573c04a3b274ef79c32663e04)
d’où
![{\displaystyle \psi =\mathrm {K} e^{-\alpha {\displaystyle \int }{\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff33cfa8bb3e57d24f2993b53263621e3ca8d89)
étant une constante. Je poserai l’intégrale elliptique
![{\displaystyle \int {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce28c032bf46ae68e1a2755f31015eb71b135ff)
d’où
![{\displaystyle \psi =\mathrm {K} e^{-\alpha u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa555c6d53bb0e0df064947bee87c7ba0f9af21b)
pour l’intégrale générale de l’équation sans second membre. Pour
intégrer l’équation à second membre, je regarderai
comme une
fonction de
ce qui donne
![{\displaystyle 2{\sqrt {2\mu }}\,{\frac {d\mathrm {K} }{dy}}\,e^{-\alpha u}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}=\mu \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37db06cdb16006fcf93cd3617590adb05e1c9b8c)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi {\frac {dy}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}}={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int e^{\alpha u}\varphi \,du,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82067e26a17cf3c1b7abc5548c4f758215d8a088)