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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE
M. BOHLIN.
en effet, pour obtenir l’intégrale complète de (3), il suffit de
prendre, en appelant
une constante,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}&=\mathrm {A} _{0}\,;&\mathrm {C} _{0}&=\mathrm {A} _{0}+2h\mu \,;&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}&={\sqrt {2\mu }}{\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61403720f3b228057123af43a2747316c98091d3)
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\mathrm {A} _{0}x+{\sqrt {2\mu }}\int {\sqrt {h+\sin ^{2}{\frac {y}{2}}}}\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5594d88a5fde5f44fbb9a396afd1d50ee12298)
Nous retombons en somme, aux notations près, sur l’exemple
que nous avons traité au no 199. Le cas de
correspond au
cas ordinaire ; le cas de
à celui de la libration ; le cas
de
au cas limite.
Mettons en évidence les solutions particulières remarquables.
Nous avons d’abord la solution simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=t,&p&=0,&y&=0,&q&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a380398c7c54ce45a5816ffd00e11cfbd0f4b5bb)
qui est une solution périodique. Voyons quelles sont les solutions
asymptotiques correspondantes.
On les obtiendra en faisant
dans
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=\mp 2{\sqrt {2\mu }}\cos {\frac {y}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42409c1984ab50053fb9b72448e5907d1ba3b7e)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&=0,&q&=\pm {\sqrt {2\mu }}\sin {\frac {y}{2}}\,;&\mathrm {tang} {\frac {y}{4}}&=\mathrm {C} e^{\pm t{\sqrt {2\mu }}},&x&=t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57afe55d2759381d677f6ab701a4589f5572d45)
ce qui montre que les exposants caractéristiques sont égaux
à ![{\displaystyle \pm {\sqrt {2\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351bf9fd23170450cd62b72b28b99a4224cc84b2)
Calculons maintenant
En égalant dans l’équation (2) les coefficients de
je trouve
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx}}+2{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy}}=\mu \varphi (y)\cos x+\mathrm {C} _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20b8e643a04a0a3b6a301d90a48ac43961aa123)
étant une constante que je pourrai d’ailleurs supposer nulle
sans restreindre la généralité, ou bien
(4)
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