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CHAPITRE XXI.
d’où
![{\displaystyle \Lambda _{1}^{0}=\Lambda _{1}'^{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27429b216f374a1c41e16d7d3d1636948a7bf434)
c’est-à-dire celui où les deux grands axes diffèrent très peu, présente
des difficultés spéciales.
Discussion des séries.
222.Reprenons les notations du no 220 et supposons que l’on
ait déterminé la fonction
par les procédés de ce numéro. Le
problème n’est pas encore entièrement résolu. Il faut encore
former les équations
(10)
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où les
et les
seront des fonctions convenablement choisies des
constantes
et
puis résoudre ces équations pour obtenir
les
les
les
en fonctions des
des
des
des
enfin remplacer les
et les
par des fonctions linéaires du
temps dont les coefficients seront convenablement choisis. On
obtiendra ainsi les expressions des coordonnées
en fonctions
du temps.
Voyons d’abord quelle sera la forme des équations (10).
La fonction
ayant ses dérivées périodiques peut s’écrire
![{\displaystyle \mathrm {S} =\beta y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+x_{3}^{0}y_{3}+\ldots +x_{p}^{0}y_{p}+z_{1}^{0}u_{1}+\ldots +z_{q}^{0}u_{q}+\mathrm {S} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db344693423f74bdcd80a46067df1fe541a52429)
étant une constante indépendante des
et des
et
étant
périodique par rapport aux
et aux
Les coefficients de
et de
peuvent, sans que la généralité s’en trouve restreinte, être
supposés égaux à
et à
c’est là, en effet, reprendre les
hypothèses (10) de la page 349.
Quant à
il est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle \beta =\beta _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\beta _{1}+\mu \,\beta _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618f0408d4d6c3dac9de4deb7526864a0894c849)
est égal à
et
à la constante
de l’équation (5) du no 220.