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SÉRIES DE M. BOHLIN.
Envisageons les séries du no 127 ; elles exprimeront les
variables
et
en fonctions des
arguments
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472176ebb83ca833013feeb34cad3ea87063af3)
et de
constantes d’intégration. Nous choisirons par exemple
pour ces
constantes d’intégration les quantités que nous avons
appelées
![{\displaystyle n_{1}^{0},\quad n_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8bb1236d61c1eaf81a094770812eddb17a2ce4)
Dans nos séries qui procèdent suivant les puissances entières
de
figurent en dénominateurs les petits diviseurs
![{\displaystyle m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35467c131507e39ce6595a58d93419089faef15f)
Supposons maintenant que l’un de ces petits diviseurs devienne
très petit ; et, par exemple, supposons que ce soit
(car, si c’en
était un autre, on n’aurait qu’à faire le changement de variables
du no 202). Voyons d’abord quel est l’exposant maximum de
au dénominateur de chacun des termes de nos séries.
D’après ce que nous avons vu aux nos 201 et 211, le développement
de
ne contient que des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f457ed1b077f9b3cd1be74a0982b53056bb286)
où
![{\displaystyle q\leqq 2p-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d06b1bfab77ed9bb99d6a0818d42aabea3c8f4)
Si nous formons ensuite les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&w_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}^{0}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbca333f646842c2bc2aaa59de0d99f9718ca7c2)
on ne trouvera non plus dans la dérivée
que des termes en
mais dans la dérivée
s’introduiront en outre des termes en
![{\displaystyle \mu ^{p}\,{\frac {d}{dx_{i}^{0}}}\left[\left(n_{1}^{0}\right)^{-q}\right]=-q\,\mu ^{p}\,{\frac {dn_{1}^{0}}{dx_{i}^{0}}}\left(n_{1}^{0}\right)^{-q-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570624cfd992db08e88779ee12b93d4e8305c531)
c’est-à-dire des termes en
![{\displaystyle {\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}}\quad (q\leqq 2p-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd1b218c67e674acedcb65eef1d2fa6f44fd11e)