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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
et un zéro simple pour
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{1}'}}-{\frac {d[\mathrm {S} _{q}']}{dy_{1}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d492ba92ba69295ccfa8ef913f26eabaaf62ebc1)
On pourrait ensuite raisonner sur la fonction
de l’équation (35)
comme on vient de le faire sur la fonction
et l’on verrait
ainsi que
est un zéro double pour
et par conséquent
pour
Comme, d’autre part, c’est un zéro simple pour
ce sera également
un zéro simple pour
![{\displaystyle {\frac {d[\mathrm {S} _{q}']}{dy_{1}'}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048db75d4b580189e6d429c18a0e226a9f3332c8)
C.Q.F.D.
Ainsi les fonctions définies par les équations (34) et (35) sont
finies.
Quelle relation y a-t-il maintenant entre la fonction
définie
au numéro précédent et la fonction
que nous venons de déterminer ?
Nous avons
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {S} \,&=x_{1}dy_{1}+x_{2}dy_{2},\\d\mathrm {S} '&=x_{1}'dy_{1}'+x_{2}'dy_{2}',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599c857e016a691c4d860c86813d828f804b9711)
d’où, en tenant compte des équations (32),
![{\displaystyle d\mathrm {S} '-d\mathrm {S} =d\Theta -d(y_{1}\theta _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10d05eeb3d9402a7a2c402f3ec257471814628a)
d’où
(36)
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Comme
et
sont toujours finis ainsi que leurs dérivées, il
en sera de même de
et de ses dérivées.
Il est aisé, en égalant dans (36) les coefficients des puissances
semblables de
de calculer les fonctions
En effet, nous avons écrit plus haut
(33)
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mais ce développement est obtenu en supposant que les
sont
exprimés en fonctions des variables nouvelles
et
si l’on