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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
et l’un d’eux
est nul ; les valeurs des deux moyens mouvements
sont donc commensurables entre elles. De plus la fonction
admet un maximum absolu qu’elle atteint pour
et qui est
égal à
À ce maximum doit donc correspondre une solution
périodique. Soit
(30)
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cette solution. Comme
est nul, quand
augmente d’une période,
et
reprennent leurs valeurs primitives, tandis que
augmente de ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Si nous éliminons
entre les équations (30), il vient
(31)
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les fonctions
étant périodiques de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Les exposants caractéristiques sont au nombre de deux et d’après
le Chapitre IV doivent être égaux et de signe contraire. De plus,
comme la solution périodique correspond à un maximum et non
à un minimum de
ces exposants doivent être réels, en vertu
du no 79, et la solution périodique doit être instable.
Cela posé, nous allons faire un changement de variables analogue
à celui du no 145.
Soit
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{\star }=x_{2}'y_{2}+\Theta +x_{1}'y_{1}+y_{1}\theta _{1}-x_{1}'\theta _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f152cc3d0c47bc85f23fdb39f7a266d50aa0db1c)
où
est une fonction de
définie par la condition
![{\displaystyle {\frac {d\Theta }{dy_{2}}}=\theta _{2}-\theta _{3}\,{\frac {d\theta _{1}}{dy_{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e69a4964a962341507298f302bad3a01cae0f14)
La forme canonique des équations ne sera pas altérée si je prends
pour variables nouvelles
et
en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dy_{i}}},&y_{i}'&={\frac {d\mathrm {S} ^{\star }}{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69428e540874f92685c564ca8d43adc459d8ec37)
On trouve ainsi
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