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CHAPITRE XIX.
Nous allons donc avoir à déterminer
![{\displaystyle \mathrm {S} _{q}'-{\big [}\mathrm {S} _{q}'{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcb6bd41d1773c26f2311de3ca66b22cdcb8cb5)
par des équations
(34)
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analogues à (14) et à déterminer
par des équations
(35)
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analogues à (15), les constantes analogues aux
étant toutes nulles.
Les fonctions
et
qui entrent dans les seconds membres
de (34) et de (35) peuvent être développées suivant les puissances
de
et les seuls termes du premier degré sont des
termes en
Je dis que non seulement la valeur
n’est pas un infini
pour les
et les
mais que c’est un zéro, a savoir un zéro
simple pour les
et un zéro double pour les
En effet, démontrons ce théorème par récurrence et supposons
qu’il soit déjà vrai pour les fonctions déjà connues.
Alors la fonction
de l’équation (34) admettra la valeur
comme zéro double ; et en effet cette valeur est un zéro simple
pour chacun des facteurs des termes de degré plus grand que 1
du développement de
suivant les puissances de
des
et
des
et d’autre part les termes du premier degré de ce développement
dépendent des dérivées
pour lesquelles
est
un zéro double.
Il résulte de là et de l’équation (34) que
est un zéro double pour
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{2}'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92f22650aa9d8657f8893f6727da937cf32ae7a)
et par conséquent pour
![{\displaystyle \mathrm {S} _{q}'-{\big [}\mathrm {S} _{q}'{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d92ebe7b2b05d810a9cdaa8a5acebb878f225c4)