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CHAPITRE XIX.
Considérons maintenant l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} '\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {d\mathrm {S} }{dy_{n}}},\,m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}\right)=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c104c3bb3b33411b018576b0411586028db8f2f)
Nous pourrons l’intégrer facilement par les procédés exposés
dans les premiers numéros de ce Chapitre.
Soit
![{\displaystyle \mathrm {S} =x_{1}'y_{1}+x_{2}'y_{2}+\ldots x_{n}'y_{n}+\mathrm {S} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad6a77dae07fc0cf3c613846779a2f96bf55296)
une des solutions de cette équation. Les coefficients
sont les constantes d’intégration que j’appelais jusqu’ici
mais
que j’appelle maintenant
parce que je vais bientôt les prendre
pour variables indépendantes nouvelles.
Quant à
c’est une fonction périodique de
![{\displaystyle m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe2403df156179555beddb2085d4768ea16e836)
dépendant en outre de
de sorte que la valeur
moyenne de
n’est autre chose que
et que l’expression considérée
de
ne diffère pas de celle à laquelle conduisent les équations (1) du no 202.
Posons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},&y_{i}'&=-{\frac {d\mathrm {S} }{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3559e5cccbb6616bf7c160ce10ce2bac483158e7)
Prenons pour variables nouvelles les
et les
la forme canonique
des équations ne sera pas altérée ; la fonction
exprimée en
fonctions des
et des
conservera la même forme ; seulement
les coefficients des termes en
![{\displaystyle m_{1}y_{1}'+m_{2}y_{2}'+\ldots +m_{n}y_{n}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9601ee28ef3870008793f7b3b77c17439b911332)
seront beaucoup plus petits que ceux des termes correspondants en
![{\displaystyle m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b6d6d5842d2e69f78fe7d20c78ba659f7d8db6)
Les inégalités à longue période auront disparu parce qu’en
somme on en aura tenu compte dès la première approximation.