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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
les
étant des entiers et
et
des constantes quelconques, nous
pourrons prendre
(4)
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et
sera de la forme voulue.
Il reste à reconnaître si le développement (2) est convergent.
C’est ce qui arrive toutes les fois que
est positif.
Supposons, en effet,
positif ; nous aurons alors
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}>{\frac {1}{\alpha +(m_{1}\lambda _{1}+m_{2}\lambda _{2}+\ldots +\mu _{n}\lambda _{n})^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602fd80dba5d9abc21e472a9a36a966b0a618881)
Reprenons la notation du Chapitre II et introduisons une nouvelle
fonction de
de même forme que
et que nous appellerons
supposons qu’elle soit telle que
![{\displaystyle \varphi _{i-1}\ll \varphi _{i-1}'\quad \left(\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256ae1e1dcb245d8e430fa201bfa04bc8c94cc0)
Définissons ensuite
par l’équation
![{\displaystyle \alpha x_{i}'=\varphi _{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed538294d2eef5047fc4a06ae251dea334d8f048)
et
par l’équation (4), nous aurons évidemment
![{\displaystyle x_{i}\ll x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1936478622ccb6120bc94bbd806c9460220ceaf1)
Soit alors une fonction
de même forme que
et telle que
![{\displaystyle f\ll f'\quad \left(\mathrm {arg} \,x,\,\mu ,\,e^{\pm i\lambda _{1}t},\,e^{\pm i\lambda _{2}t},\,\ldots e^{\pm i\lambda _{n}t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9362c9958b431047d8a1f03a19296ec769bf538f)
Envisageons l’équation (5) qui définira une nouvelle fonction
(5)
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On peut tirer de cette équation
en une série convergente
ordonnée suivant les puissances de
![{\displaystyle x'=x_{1}'\mu +x_{2}'\mu ^{2}+x_{3}'\mu ^{3}+\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e518496675c4c011092f1b3d35042ed8101eaace)
les coefficients en sont ordonnés suivant les sinus et cosinus des
multiples des ![{\displaystyle \lambda _{i}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b19526a777eaacbdc6dbbaa8069c43bb9424281a)
Si nous substituons ce développement à la place de
dans