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CHAPITRE XVIII.

Reprenons l’équation (6 bis) du n^o 169

(6 bis)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho =\mathrm {B} .$

Les termes de $\mathrm {B}$ sont de l’ordre de grandeur des forces perturbatrices ; ils dépendent de $v_{0}+\chi ,$ $v_{0}'+\chi ',$ $\rho$ et $\rho '\,;$ nous pouvons supposer qu’on en ait fait disparaître $\chi ,$ $\chi '$ et $\rho '$ par les procédés des n^os 170 à 172 ou par des procédés analogues, qu’on ait remplacé $v_{0}'$ en fonction de $v_{0}.$

Alors $\mathrm {B}$ ne dépendra plus que de $\rho$ et de $v_{0}$ et ses termes seront de la forme

$\mathrm {A} \rho ^{m}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}\lambda \,v_{0}.$

Quant à $\lambda ,$ il sera égal à

$m+\mu \,n,$

$m$ et $n$ étant des entiers et $\mu$ le rapport des moyens mouvements des deux planètes.

Distinguons dans $\mathrm {B}$ les deux termes suivants

$\alpha \rho$ et $\beta \rho \cos 2v_{0},$

et posons

$\mathrm {B} =\alpha \rho +\beta \rho \cos 2v_{0}+\mathrm {B} '.$

Nous pourrons faire passer $\alpha \rho$ dans le premier membre et écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1-\alpha )=\mathrm {B} '+\beta \rho \cos 2v_{0}.$

Cette équation est de même forme que l’équation (1). Pour savoir s’il convient de faire passer dans le premier membre le terme $\beta \rho \cos 2v_{0},$ il faut voir si la quantité qui correspond à ${\frac {2q}{\lambda }}$ est voisine de 1. Or cette quantité est égale à

${\sqrt {1-\alpha }},$

et $\alpha$ est de l’ordre de la fonction perturbatrice. On augmentera donc beaucoup la rapidité de la convergence en faisant passer ce terme dans le premier membre et il n’y a pas les mêmes raisons pour y faire passer les autres termes de $\mathrm {B} '.$