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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.
Équation de l’évection.
191.Appliquons les considérations qui précèdent à l’intégration
par approximations successives de l’équation
(1)
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est un coefficient très petit,
est une fonction connue
de
et de
dont les termes sont tous de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \,x^{p}\cos \lambda t+\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025a9322cb6bfc8d924c041165aae58fc86a3683)
est un entier,
et
sont des constantes quelconques.
Je vais écrire cette équation sous la forme
(2)
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et
étant des constantes très petites dont je me réserve de déterminer
plus loin la valeur en la modifiant à chaque approximation.
Comme première approximation je ferai
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\gamma =0,&\varphi &=\varphi (0,t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a153bf7873f15089651dbbb6a7cdbd0c5c0382)
J’obtiendrai ainsi une équation de même forme que l’équation (1)
du numéro précédent et elle me donnera une première valeur
approchée de
que j’appellerai
je désignerai par
la valeur
correspondante du nombre
La fonction
conservera sa forme trigonométrique et ne contiendra
pas de terme séculaire, parce qu’en général aucune des
différences
ne sera entière.
Pour la seconde approximation il faut faire
![{\displaystyle \varphi =\varphi (\xi _{1},t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fb8630cd8be943af3aa36ef969fefc87f2bbc6)
Mais si l’on conservait à
et à
la valeur zéro, les développements
de
et de
contiendraient des termes tout connus et
le temps sortirait, d’après ce que nous avons vu plus haut, des
signes trigonométriques.