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CHAPITRE XVIII.
les
étant des constantes développables suivant les puissances
de
et les
des constantes arbitraires.
Les
et les
seront périodiques par rapport aux
à
l’exception de
qui se réduira à
j’ajoute que
est une
constante.
Nous n’avons plus qu’à substituer ces valeurs de
et
dans les
équations qui donnent les variables anciennes en fonctions de ces
variables nouvelles
et
et nous verrons ainsi qu’on peut satisfaire
formellement aux équations (5) de la façon suivante :
Les
et les
seront développables suivant les puissances de
sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu x_{i}^{1}+\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}+\mu y_{i}^{1}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7755f5f482474c3f95b4ca446255960382e155e4)
Les
et les
seront périodiques par rapport aux
à
l’exception de
mais
sera périodique ; il n’arrivera pas
toutefois que
se réduira à une constante et
à
194.Appliquons ces principes à l’équation (1) du no 191, que
j’écrirai ainsi en lui donnant un nouveau numéro
Cherchons à la ramener à la forme canonique.
(6)
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Cherchons à la ramener à la forme canonique.
Soit
une fonction de
et de
telle que
![{\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {d\psi }{dx}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d38c0434ee2a328b3e4a4aeb671e9ff0d709f90)
sera, comme
développable suivant les puissances de
et suivant
les sinus et les cosinus des multiples de
![{\displaystyle 2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187a4414e6a08d58749df115f807b026643bd3d9)
Posons pour plus de symétrie
![{\displaystyle 2=\lambda _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742da8ea7515cb66ef7cbb784d79101d5c6a47c2)
Posons ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t&(i&=2,\,3,\,\ldots ,n),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf7b841b3131c4bd05b46ac9ccd01de39467f0e)