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CHAPITRE XVIII.
les puissances du petit paramètre
qui entre dans le second
membre de (1) ; de même,
sera développable suivant les puissances
de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Ainsi le problème dont nous nous sommes occupés au numéro
précédent peut s’énoncer comme il suit. Nous avons cherché à
satisfaire formellement à l’équation (1) en y remplaçant
par
une série développable suivant les puissances de
et suivant les
cosinus et les sinus des multiples de
![{\displaystyle w,\quad 2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc093224c04d083b0076944eb5512de03dfd6fc9)
La variable auxiliaire
doit elle-même être égale à
le nombre
étant développable suivant les puissances de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
On peut donner la solution de ce problème sous une forme plus
satisfaisante pour l’esprit en dirigeant les approximations comme
je vais le faire.
Si nous mettons en évidence ce fait que
dépend de
de deux
manières, d’abord directement, puis parce que
est aussi fonction
de
et
fonction de
l’équation (1) s’écrira
(5)
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Comme
doit être développé suivant les puissances de
nous
écrirons
(6)
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et de même pour ![{\displaystyle h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
(7)
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(
n’a donc plus le même sens que dans le numéro précédent).
Substituons les développements (6) et (7) dans l’équation aux
dérivées partielles (5). Les deux membres de cette équation sont
alors développés suivant les puissances de
Égalons dans les deux
membres de (5) les termes indépendants de
puis les coefficients
de
puis ceux de
nous obtiendrons une série d’équations
que j’appellerai
de telle façon que l’équation
s’obtienne en égalant les coefficients de
L’équation
devra servir à déterminer
et
l’équation