276
CHAPITRE XVII.
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} (x^{2})={\frac {2}{\pi ^{2}}}\left[\cos \pi {\sqrt {-x^{2}-\lambda }}-\cos \pi y\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f222c84adfd39ac54b56ae30b0abbc80be7019)
L’inégalité (α) est vraie quels que soient
et
pourvu que
et
soient réels.
Nous savons maintenant que le rapport
![{\displaystyle {\frac {\cos ix}{e^{|x|}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db3f715f5e4ef9a7ed4f7f937b5fc09c3cd1b05)
tend vers 1/2 quand
croît indéfiniment par valeurs réelles. Il
résulte de là qu’on peut trouver une constante numérique
telle que
![{\displaystyle \mathrm {F} (x^{2})<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7118c656eea9be9f78f8e0cd9a3b0a85bc674cd)
on en déduit
![{\displaystyle |\nabla (y+ix)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {x^{2}+\lambda }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85b30e7b619fed806d8831c1726ce264b9b1861)
d’où
![{\displaystyle |\nabla (z)|<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {|z^{2}|+\lambda }}}<\mathrm {B} \,e^{\pi {\sqrt {\lambda }}}\,e^{\pi |z|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fd5c8729950d7329257e14b94d2e242416c3fe)
Considérons maintenant le rapport
![{\displaystyle {\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cadd94a33cbabfc16a2aa2a2e846775c6d01f6)
Le numérateur s’annule toutes les fois que le dénominateur s’annule,
et il en résulte que ce rapport est une fonction entière, tant
en
qu’en
et en ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Comme ce rapport est une fonction périodique de
nous
pouvons toujours supposer que la partie réelle de
reste comprise
entre
et
faisons donc tendre la partie imaginaire
vers l’infini et voyons comment se comporte notre rapport
![{\displaystyle {\frac {\nabla (z)}{\cos \pi z-\cos \pi h}}={\frac {\nabla (z)}{e^{\pi |z|}}}\,{\boldsymbol {:}}\,{\frac {\cos \pi z-\cos \pi h}{e^{\pi |z|}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abddf989b7587e32b2022e75ae8634e9230d0e7)
Le premier facteur du second membre reste inférieur en valeur
absolue à
le second facteur tend vers 1/2 : notre rapport reste
donc fini. C’est donc une fonction entière de
qui reste constamment
inférieure à une certaine limite ; cette fonction doit donc
d’après un théorème connu se réduire à une constante indépendante
de ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)